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    <title>Matrices</title>    
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	</head>
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    <div id="top">
      <h1>Matrices</h1> 
    </div>
    <div id="main">
      <h2>Contenido</h2>
      <div class="contents">
        <ol>
          <li><a href="#intro">Introducción a las matrices</a></li>
          <li><a href="#basic_ops">Operaciones básicas con matrices</a></li>
          <li><a href="#trasposed">Matrices traspuestas</a></li>
          <li><a href="#lin_eq_sys">Sistemas de ecuaciones lineales</a></li>
          <li><a href="#gauss_jordan">M&eacute;todo de eliminaci&oacute;n de Gauss-Jordan</a></li>
          <li><a href="#tri_diag_sca">Matrices triangulares, diagonales y escalares</a></li>
          <li><a href="#squared">Matrices cuadradas</a></li>
          <li><a href="#unit">Matrices unidad/identidad</a></li>
          <li><a href="#minor">Menor complementario <code>ij</code> de una matriz</a></li>
          <li><a href="#cofac">Cofactor <code>ij</code> de una matriz</a></li>
          <li><a href="#det">Determinante de una matriz cuadrada</a></li>
          <li><a href="#inv">Inversa de una matriz cuadrada</a></li>
          <li><a href="#orto">Matrices ortogonales</a></li>
          <li><a href="#refs">Referencias</a></li>
        </ol>
      </div>
      <h2 id="intro">Introducci&oacute;n a las matrices</h2>
      <div class="contents">
        <p>Esta p&aacute;gina no trata de reemplazar todo el material asociado con las matrices, es s&oacute;lo una simple introducci&oacute;n para poder trabajar con matrices lo m&aacute;s r&aacute;pido posible. La mejor forma de aprender a usarlas es aprendiendo de un buen curso de algebra lineal.</p>
        <p><b>Las matrices</b> se mencionan mucho y se ven bastante intimidantes, pero como todo elemento matem&aacute;tico, es una entidad definida para trabajar con n&uacute;meros de una forma especial a trav&eacute;s de operaciones espec&iacute;ficas y tambi&eacute;n definidas. En la imagen se puede ver la forma b&aacute;sica de una matriz.</p>
        
        <img src="../../images/model1/intro1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 1: Imagen de una matriz</p>
        
        <p>En la imagen puede verse una matriz de 3 filas y 4 columnas llena de n&uacute;meros enteros. Las matrices son b&aacute;sicamente eso, son mallas cuadriculadas en donde cada cuadrado es un espacio reservado para un n&uacute;mero de cualquier tipo (natural, entero, racional, irracional, real, imaginario...) &iquest;Qu&eacute; significa esta matriz, o qu&eacute; se hace con lo que est&aacute; adentro de ella? Ni idea, eso ya depende del que la cre&oacute;.</p>
        
        <p>En general las matrices de tama&ntilde;o <code>m x n</code> se representan de la siguiente forma:</p>
        
        <img src="../../images/model1/intro2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 2: Imagen de una matriz general</p>
        
        <p>donde cada elemento tiene un &iacute;ndice gen&eacute;rico <code>ij</code> que indica en que fila (<code>i</code>) y columna (<code>j</code>) se encuentra dicho elemento. Finalmente, las matrices tienen las siguientes restricciones:</p>
        
        <ul>
          <li>Las matrices tienen una forma rectangular, es decir, si la matriz tiene tama&ntilde;o <code>3x4</code> entonces la matriz tiene 12 casillas para rellenar.</li>
          <li>Todas las casillas de la matriz deben contener elementos definidos (no pueden haber casillas vacias).</li>
        </ul>
      </div>
      <h2 id="basic_ops">Operaciones b&aacute;sicas con matrices</h2>
      <div class="contents">
        <p>Como los n&uacute;meros, las matrices tienen las siguientes propiedades/operaciones definidas:</p>
        <ul>
          <li>
            <p><b>Suma de matrices:</b> la suma de matrices se define como la suma del elemento ij de una matriz con el elemento ij de la otra matriz.</p>
            
            <img src="../../images/model1/basic_ops1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 3: Suma de matrices</p>
            
            <p>Es ilegal sumar matrices que no tengan el mismo n&uacute;mero de filas o columnas.</p>
            </li>
          <li><p><b>Resta de matrices:</b> la resta de matrices sigue la misma regla que la suma solo que en vez de sumar los elementos, se restan.</p></li>
          <li>
            <p><b>Escalar multiplicando a una matriz:</b> un escalar (un n&uacute;mero) puede multiplicar a una matriz y lo que hace es multiplicar cada elemento <code>ij</code> de la matriz por dicho escalar.</p>
            <img src="../../images/model1/basic_ops2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 4: producto de un escalar por una matriz</p>
          </li>
          <li>
            <p><b>Multiplicaci&oacute;n de matrices:</b> esta es la operaci&oacute;n m&aacute;s extra&ntilde;a y la m&aacute;s usada de las matrices. Dicha operaci&oacute;n no es commutativa (importa el order) y s&oacute;lo es legal cuando la matriz de la izquierda tiene un n&uacute;mero de columnas igual al n&uacute;mero de filas de la matriz de la derecha.</p>
            
            <img src="../../images/model1/basic_ops3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 5: matrices que pueden multiplicarse</p>
            <img src="../../images/model1/basic_ops4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 6: matrices que NO pueden multiplicarse</p>
            
            <p>Dicho de otra forma, si se tiene una matriz <code>A</code> de <code>m x p</code> y una matriz <code>B</code> de <code>q x n</code> entonces la multiplicaci&oacute;n <code>A x B</code> solo est&aacute; definida para cuando <code>p = q</code>. El procedimiento para generar el elemento <code>ij</code> de la matriz <code>C</code> que es el producto de las matrices <code>A x B</code> es el siguiente:</p>
            <ol>
              <li>
                <p>Se selecciona la fila <code>i</code> de la matriz de la izquierda <code>A</code>.</p>
                <img src="../../images/model1/basic_ops5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
                <p class="idtext">Fig. 7: fila <code>i</code> de la matriz <code>A</code></p>
              </li>
              <li>
                <p>Se selecciona la columna <code>j</code> de la matriz de la izquiera <code>B</code></p>
                <img src="../../images/model1/basic_ops6.jpg" alt="Image could not be loaded.">
                <p class="idtext">Fig. 8: columna <code>j</code> de la matriz <code>B</code></p>
              </li>
              <li>
                <p>Se multiplica cada elemento de la fila <code>i</code> de <code>A</code> con el elemento correspondiente de la columna <code>j</code> de <code>B</code> (izquierda-derecha corresponde a arriba-abajo) y se suman todos los productos. Es como el producto escalar de vectores.</p>
                <img src="../../images/model1/basic_ops7.jpg" alt="Image could not be loaded.">
                <p class="idtext">Fig. 9: "producto escalar" de la fila <code>i</code> de la matriz <code>A</code> con la columna <code>j</code> de la matriz <code>B</code></p>
              </li>
              <li>
                <p>El resultado num&eacute;rico es el elemento <code>ij</code> de la matriz <code>C</code> resultante.</p>
              </li>
            </ol>
            <br>
            <p>Para generar a la matriz completa solo hay que repetir este proceso multiples veces. Para cada fila de la matriz de la izquiera se hace la operaci&oacute;n mencionada con cada columna de la matriz de la derecha para ir generando cada fila de la matriz resultante.</p>
            <br>
            <p><b>Ejemplos:</b></p>            
            <img src="../../images/model1/basic_ops8.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 10: ejemplo de producto de matrices</p>
            <img src="../../images/model1/basic_ops9.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 11: ejemplo de producto de matrices</p>
            <img src="../../images/model1/basic_ops10.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 12: ejemplo de producto de matrices</p>
            
          </li>
        </ul>
      </div>
      <h2 id="trasposed">Matrices traspuestas</h2>
      <div class="contents">
        <p>La trasposici&oacute;n es una operaci&oacute;n que se realiza sobre las matrices y que lo &uacute;nico que hace es colocar las filas de la matriz como las columnas en la matriz resultante. Se usa el s&iacute;mbolo de <i>elevado a la T</i> para indicar que se quiere la traspuesta de una matriz.</p>
        
        <img src="../../images/model1/trasposed1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 13: Matriz traspuesta de una matriz</p>
        
        <p>El orden de selecci&oacute;n de las filas es de arriba a abajo y el del posicionamiento de las columnas de izquierda a derecha. De una forma m&aacute;s t&eacute;cnica se dice que la operaci&oacute;n de trasposici&oacute;n lo que hace es agarrar el elemento <code>ij</code> de una matriz <code>A</code> y colocarlo en la posici&oacute;n <code>ji</code> de la matriz <code>B</code>. Esta operaci&oacute;n tiene propiedades que se pueden ver en las referencias citadas.</p>
        
      </div>
      <h2 id="lin_eq_sys">Sistemas de ecuaciones lineales</h2>
      <div class="contents">
      
        <p>En el material que aprend&iacute;, las matrices se empiezan a explicar a trav&eacute;s de su aplicaci&oacute;n en los <i>sistemas de ecuaciones lineales</i>. Para m&iacute;, le da a las matrices una raz&oacute;n de existencia (aunque no s&eacute; cual es el verdadero origen). El material expuesto en esta p&aacute;gina empieza ligeramente al rev&eacute;s.</p>
        
        <img src="../../images/model1/lin_eq_sys1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 14: Imagen de un sistema de ecuaciones lineal de 2 ecuaciones con 2 incognitas</p>
        
        <p>&iquest;Porqu&eacute; hablar de los sistemas de equaciones lineales? Bueno, hay una propiedad fundamental de las matrices que "naturalmente" se explica a trav&eacute;s de ellos por lo que es muy importante entender la aplicaci&oacute;n. Voy a asumir que el lector ya sabe de estos sistemas, su interpretaci&oacute;n geom&eacute;trica (cuando puede aplicarse) y sus m&eacute;todos de resoluci&oacute;n.</p>
        
        <p>Viendo la imagen de la <b>Fig. 14</b> se puede comparar la posici&oacute;n de los escalares que multiplican a las incognitas <code>x</code> y <code>y</code> como las posiciones que tendr&iacute;an en una matriz, vamos a ponerlos en una matriz entonces!</p>
        
        <img src="../../images/model1/lin_eq_sys2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 15: Escalares del sistema de la <b>Fig. 14</b> puestos en una matriz.</p>
        
        <p>En la imagen puede verse que colocar a los n&uacute;meros en una matriz permite contener <i>casi</i> toda la informaci&oacute;n del sistema de ecuaciones anterior recordando que cada columna corresponde a una de las incognitas del sistema y que la informaci&oacute;n de una ecuaci&oacute;n se encuentra en una de las filas. Para incluir el resto de la informaci&oacute;n solo se incluye una columna extra con los elementos a la derecha de la igualdad del sistema.</p>
        
        <img src="../../images/model1/lin_eq_sys3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 16: Todos los escalares del sistema de la <b>Fig. 14</b> puestos en una matriz.</p>
        
        <p>Al tipo de matriz mostrada en la <b>Fig. 15</b> se le conoce como <i>matriz de coeficientes</i> y a la matriz de la <b>Fig. 16</b> se le denomina matriz <i>aumentada/extendida</i>. La <i>extensi&oacute;n</i> se puede representar con una l&iacute;nea. La distinci&oacute;n entre la matriz de coeficientes (sin la columna de extensi&oacute;n) y la matriz aumentada es que se pueden realizar operaciones en una matriz o en la otra para caracterizar/resolver al sistema de ecuaciones asociado, por lo que ambas representaciones son importantes.</p>
        
      </div>      
      <h2 id="gauss_jordan">M&eacute;todo de eliminaci&oacute;n de Gauss-Jordan</h2>
      <div class="contents">
      
        <p>Para resolver sistemas de ecuaciones se puede emplear los m&eacute;todos de reducci&oacute;n, sustituci&oacute;n, etc. conocidos que trabajan directamente sobre las ecuaciones. En forma de matriz extendida, sin embargo, se puede emplear el <i>m&eacute;todo de eliminaci&oacute;n de Gauss-Jordan</i>.</p>
        
        <p>Este m&eacute;todo permite operar directamente en la matriz extendida (el m&eacute;todo puede operarse sobre cualquier matriz) modificandola por pasos hasta obtener la soluci&oacute;n del sistema de equaciones (si es que existe). Antes de explicar el m&eacute;todo, veamos un ejemplo del inicio y el final del proceso de soluci&oacute;n de un sistema de ecuaciones:</p>
        
        <p>El sistema de ecuaciones mostrado en la <b>Fig. 14</b> tiene la siguiente soluci&oacute;n (soluci&oacute;n &uacute;nica).</p>
        
        <img src="../../images/model1/gauss_jordan1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 17: Sistema de ecuaciones de la <b>Fig. 14</b> con su soluci&oacute;n.</p>
        
        <p>Realmente, ambos elementos en la imagen de arriba son sistemas de ecuaciones, lo que pasa es que uno ya est&aacute; resuelto (derecha, <code>x</code> y <code>y</code> est&aacute;n despejados) y el otro est&aacute; por resolverse (izquierda). Por lo tanto, ambos pueden representarse como una matriz extendida.</p>
        
        <img src="../../images/model1/gauss_jordan2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 18: Sistemas de ecuaciones de la <b>Fig. 17</b> en su forma de matriz extendida.</p>            

        <p>&iquest;Porqu&eacute; se representa la parte derecha de la <b>Fig. 17</b> en la forma de matriz extendida de esa forma? la primera ecuaci&oacute;n <code>x = 5.5</code> tiene al escalar <code>1</code> multiplicando a la <code>x</code> y el escalar <code>0</code> multiplicando a la <code>y</code> (por ello no se coloca en la ecuaci&oacute;n aunque no estar&iacute;a mal colocarlo), la misma l&oacute;gica aplica a la ecuaci&oacute;n <code>y = -0.5</code>.</p>
        
        <p>El m&eacute;todo de Gauss-Jordan justamente tiene como inicio y final las matrices izquierda y derecha de la <b>Fig. 18</b> y las operaciones intermedias definidas (y como representarlas al usarlas) son las siguientes:</p>
        
        <ul>
          <li>
            <p><b>Intercambiar filas de posici&oacute;n</b></p>            
            <p>Como lo dice el nombre, simplemente se intercambian las filas de lugar y se continua con el proceso.</p>            
            <img src="../../images/model1/gauss_jordan3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 19: Intercambio de filas.</p>            
            <p><b>Nota:</b> Tambien pueden intercambiarse las columnas pero hay que tener en cuenta (adem&aacute;s) la ubicaci&oacute;n de las columnas para ubicar correctamente las incognitas.</p>
          </li>
          <li>
            <p><b>Multiplicar una fila por un escalar</b></p>            
            <p>Se asigna a una fila el valor de la fila multiplicada por un escalar.</p>            
            <img src="../../images/model1/gauss_jordan4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 20: Multiplicar fila por un escalar.</p>            
          </li>
          <li>
            <p><b>Asignar a una fila la combinaci&oacute;n lineal de ella misma con otra fila</b></p>          
            <p>Esta es la operaci&oacute;n m&aacute;s usada (y puede ser la &uacute;nica a usar) para el m&eacute;todo de Gauss-Jordan. Basicamente es asignar a una fila en espec&iacute;fico un multiplo de ella misma sumado con un multiplo de otra fila.</p>            
            <img src="../../images/model1/gauss_jordan5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 21: Asignar a una fila una combinaci&oacute;n lineal de filas (incluyendo a dicha fila la combinaci&oacute;n lineal).</p>            
            <p><b>Nota:</b> Tambi&eacute;n es legal asignar una combinaci&oacute;n lineal que no involucre la informaci&oacute;n de la fila a reemplazar pero existe el riesgo de perder informaci&oacute;n en el proceso.</p>
          </li>
          <li>
            <p><b>Realizar una combinaci&oacute;n de las operaciones anteriores de golpe</b></p>            
            <p>Para los impacientes. Hay que tener cuidado de no cometer errores!</p>
            <img src="../../images/model1/gauss_jordan6.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 22: Combinaci&oacute;n de operaciones.</p>   
            <p>Las operaciones se realizan en cascada (de arriba hacia abajo).</p>
          </li>
        </ul>
        <br>        
        <p>Con las operaciones definidas anteriormente, una de las formas en las que se puede resolver el sistema de ecuaciones de la <b>Fig. 14</b> es la siguiente:</p>        
        <img src="../../images/model1/gauss_jordan7.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 23: Resoluci&oacute;n del sistema de ecuaciones de la Fig. 14 a trav&eacute;s del m&eacute;todo de Gauss-Jordan.</p>
        
        <p>Al realizar el proceso de reducci&oacute;n de Gauss-Jordan sobre una matriz extendida puede ocurrir una de las siguientes situaciones:</p>
        <ul>
          <li><b>Todos los coeficientes de una fila quedan igual a cero:</b> La fila se elimin&oacute; por ser una combinaci&oacute;n lineal de las dem&aacute;s filas</li>
          <li><b>La parte extendida de una fila es diferente de cero cuando todos los dem&aacute;s coeficientes son cero:</b> El sistema de ecuaciones asociado no tiene soluci&oacute;n.</li>
          <li><b>No se pueden despejar todas las inc&oacute;gnitas al final del proceso:</b> El sistema de ecuaciones asociado posee infinitas soluciones.</li>
        </ul>
        
        <p>Existe una teor&iacute;a gigantesca de la relaci&oacute;n entre sistemas de ecuaciones lineales y las matrices, para m&aacute;s ejemplos/problemas/informaci&oacute;n sobre este m&eacute;todo puede consultarse en las referencias.</p>
      </div>   
         
      <h2 id="tri_diag_sca">Matrices triangulares, diagonales y escalares</h2>
      <div class="contents">
        <p>Las <i>matrices triangulares</i> son matrices que tienen ceros por arriba o por debajo de su diagonal principal. La diagonal principal empieza desde el elemento <code>11</code> y avanza <i>diagonalmente</i> hasta los l&iacute;mites de la matriz</p>
        <img src="../../images/model1/tri_diag_sca1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 24: Ejemplo de matriz triangular.</p>
        
        <p>Las matrices tringulares pueden ser <i>superiores</i> o <i>inferiores</i>. Lo que esto quiere decir es el lugar en donde se encuentran los ceros. En el caso de la matriz triangular superior, los elementos debajo de la diagonal principal son cero, y en el caso de la matriz triangular inferior los elementos arriba de la diagonal principal son cero.</p>
        <img src="../../images/model1/tri_diag_sca2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 25: Ejemplo de matriz triangular superior.</p>
        <img src="../../images/model1/tri_diag_sca3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 26: Ejemplo de matriz triangular inferior.</p>
        
        <p>Las <i>matrices diagonales</i> son matrices que tienen todos los elementos fuera de la diagonal principal igual a cero. Es una matriz triangular superior e inferior a la vez.</p>
        <img src="../../images/model1/tri_diag_sca4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 27: Ejemplo de matriz diagonal.</p>
        
        <p>Las <i>matrices escalares</i> son matrices diagonales en donde todos los elementos de la diagonal son iguales entre s&iacute;.</p>
        <img src="../../images/model1/tri_diag_sca5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 28: Ejemplo de matriz escalar.</p>
        
        <p>Una matriz completamente llena de ceros es una matriz triangular superior e inferior, diagonal y escalar a la vez. Este tipo de matriz se llama <i>matriz cero</i>.</p>
        <br>
        <p><b>Nota:</b> En general, se refiere a las matrices triangulares, diagonales y escalares como subconjuntos de las matrices cuadradas pero en mi opini&oacute;n creo que pueden ser o no ser cuadradas.</p>
      </div>          
      <h2 id="squared">Matrices cuadradas</h2>
      <div class="contents">
        <p>Las matrices cuadradas son matrices cuyas dimensiones horizontal y vertical son de igual magnitud. <code>1x1</code>, <code>2x2</code>, <code>3x3</code>, <code>4x4</code>, etc. son todas dimensiones de matrices cuadradas.</p>
        
        <img src="../../images/model1/squared1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 29: Ejemplos de matrices cuadradas.</p>
        
        <p>Las matrices cuadradas son el tipo de matriz m&aacute;s utilizada ya que siempre 2 matrices cuadradas de igual dimensi&oacute;n van a poder multiplicarse sin importar el orden en el que se pongan dichas matrices (la multiplicaci&oacute;n no es commutativa!). Tambi&eacute;n se usan ya que para ellas existen operaciones/propiedades para caracterizarla, como lo es el <b>determinante</b> y la <b>matriz inversa</b>.</p>
      </div>
      <h2 id="unit">Matrices unidad/identidad</h2>
      <div class="contents">        
        <p>Las <i>matrices unidad/identidad</i> son matrices diagonales cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1. Estas matrices tienen la propiedad de multiplicar a cualquier otra matriz y no modificarla en el proceso. Esta matriz es el elemento neutro de la multiplicaci&oacute;n y en general se le denota por <code>I</code>.</p>
        
        <img src="../../images/model1/unit1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 30: Matriz identidad de <code>3x3</code>.</p>
        
        <p>De la seccion del <a href="#gauss_jordan">m&eacute;todo de Gauss-Jordan</a> puede verse que al aplicar dicho m&eacute;todo a una matriz extendida queda del lado izquierdo (si el sistema de ecuaciones asociado tiene soluci&oacute;n &uacute;nica) una matriz identidad.</p>
      </div>
      <h2 id="minor">Menor complementario <code>ij</code> de una matriz.</h2>
      <div class="contents">  
        <p><i>El menor complementario <code>ij</code></i> de una matriz cuadrada es el <a href="#det">determinante</a> de la submatriz que se obtiene al eliminar la fila <code>i</code> y la columna <code>j</code> de la matriz original.</p>
        <img src="../../images/model1/minor1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 31: Ejemplos del menor complementario <code>ij</code> de una matriz.</p>      
      </div>
      <h2 id="cofac">Cofactor <code>ij</code> de una matriz.</h2>
      <div class="contents">  
        <p>El cofactor <code>ij</code> de una matriz cuadrada es el <a href="#det">Menor complementario <code>ij</code></a> de la misma matriz multiplicado por la potencia <code>(-1)^(i + j)</code>.</p>
        <img src="../../images/model1/cofac1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 32: F&oacute;rmula del cofactor <code>ij</code> de una matriz.</p>      
        <img src="../../images/model1/cofac2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 33: Ejemplos del cofactor <code>ij</code> de la matriz de la Fig. 31.</p>      
      </div>
      <h2 id="det">Determinante de una matriz cuadrada</h2>
      <div class="contents">        
        <p>Las matrices cuadradas tienen una propiedad interesante que es el <b>determinante</b>. Este elemento es un escalar propio de la matriz cuyo valor n&uacute;merico se puede usar para caracterizar la soluci&oacute;n del sistema de ecuaciones asociado (con cualquier columna de extensi&oacute;n). De cierta forma se puede decir que "determina" las caracteristicas generales de la matriz.</p>
        
        <p>El proceso de calculo del determinante de una matriz cuadrada es un proceso que se puede definir usando la definici&oacute;n del <a href="#cofac">cofactor <code>ij</code></a> y considerando que el determinante de una matriz <code>1x1</code> es el valor num&eacute;rico de su &uacute;nico elemento.</p>
        
        <p>La descripci&oacute;n de este proceso no es sencilla ya que se puede escribir de diferentes formas. Se har&aacute; un ejemplo con una matriz de <code>2x2</code> y luego con una matriz de <code>3x3</code>.</p>
        
        <img src="../../images/model1/det1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 34: Matriz ejemplo de <code>2x2</code>.</p>    
        
        <ol>
          <li>
            <p>El determinante tiene las siguientes representaciones, se puede usar cualquiera de ellas aunque en mi opinion la notaci&oacute;n con las barras verticales es m&aacute;s f&aacute;cil de recordar y aplicar para casos pr&aacute;cticos.</p>
            <img src="../../images/model1/det2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 35: Representaciones generales de un determinante.</p>  
          </li>
          <li>
            <p>Se selecciona una fila o columna a recorrer. Cualquier fila o columna. El recorrido puede ser en el sentido deseado. Voy a seleccionar la primera fila y la recorrer&eacute; de izquierda a derecha.</p>
            <img src="../../images/model1/det3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 36: Selecci&oacute;n de la fila/columna a recorrer en la matriz <code>2x2</code> ejemplo.</p>
          </li>
          <li>
            <p>Por cada elemento <code>1j</code> de la fila se realiza el siguiente procedimiento:</p>
            <img src="../../images/model1/det4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 37: Procedimiento de obtenci&oacute;n del determinante de una matriz cuadrada gen&eacute;rica.</p>
            <p>Que se traduce en la matriz ejemplo de <code>2x2</code> como:</p>
            <img src="../../images/model1/det5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 38: Procedimiento de obtenci&oacute;n del determinante de la matriz <code>2x2</code> ejemplo.</p>
            
            <p>Puede recordarse el determinante de una matriz de <code>2x2</code> de la siguiente forma <b>m&aacute;s sencilla</b>:</p>
            <img src="../../images/model1/det6.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 39: Procedimiento de obtenci&oacute;n del determinante de una matriz gen&eacute;rica de <code>2x2</code>.</p>
          </li>
        </ol>
        <br>
        <p>Para una matriz de <code>3x3</code>:</p>
        <img src="../../images/model1/det7.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 40: Matriz ejemplo de <code>3x3</code>.</p>    
        
        <ol>
          <li>
            <p>Se selecciona una fila o columna a recorrer. Voy a seleccionar la tercera columna y la recorrer&eacute; de abajo hacia arriba.</p>
            <img src="../../images/model1/det8.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 41: Selecci&oacute;n de la fila/columna a recorrer en la matriz <code>3x3</code> ejemplo.</p>
          </li>
          <li>
            <p>Se realiza el procedimiento gen&eacute;rico mostrado en la <b>Fig. 35</b> pero para la 3era columna de la matriz de <code>3x3</code>:</p>
            <img src="../../images/model1/det9.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 42: Procedimiento de obtenci&oacute;n del determinante de la matriz <code>3x3</code> ejemplo.</p>
            <p>Puede recordarse el determinante de una matriz de <code>3x3</code> de una forma m&aacute;s sencilla a trav&eacute;s del <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus">M&eacute;todo de la Lluvia o Regla de Sarrus</a>.</p>
          </li>
        </ol>
        <br>
        <p>Para matrices de <code>4x4</code>, hasta infinito... hay que trabajar >:]</p>
        <br>
        <p><b>Propiedades del determinante:</b></p>
        <ul>
          <li>Si el determinante de una matriz es distinto de 0 entonces el sistema de ecuaciones asociado tiene soluci&oacute;n &uacute;nica.</li>
          <li>Si el determinante de una matriz es igual a 0 entonces el sistema de ecuaciones asociado tiene infinitas soluciones o no tiene soluci&oacute;n.</li>
        </ul>
        <p><b>Nota:</b> hay una larga lista de otras propiedades que puede encontrarse en las referencias.</p>  
        <p>Se demuestra que el determinante de las matrices triangulares es el producto de los elementos de la diagonal principal.</p>        
      </div>
      <h2 id="inv">Inversa de una matriz cuadrada</h2>
      <div class="contents">        
        <p>Otra caracter&iacute;stica interesante de las matrices cuadradas es la posibilidad de tener una <b>inversa</b>. La inversa tiene una gran importancia en transformaciones lineales por lo que es importante conocer como obtenerla y como saber si existe.</p>
        
        <p>La condici&oacute;n m&aacute;s sencilla para probar si una matriz posee inversa es <i>calculandole su determinante</i>, si dicho determinante resulta en <code>0</code> entonces la matriz no posee inversa, de lo contrario, se puede determinar su inversa con los siguientes m&eacute;todos.</p>
        
        <ul>
          <li>
            <p><b>A trav&eacute;s del m&eacute;todo de Gauss-Jordan</b></p>
            <p>Se puede determinar una matriz inversa a trav&eacute;s del m&eacute;todo de eliminaci&oacute;n de Gauss-Jordan extendiendo la matriz cuadrada a una matriz identidad de igual tama&ntilde;o que la matriz a invertir. En el procedimiento lo que se busca es generar la matriz identidad del lado izquierdo, cuando dicha condici&oacute;n se satisfaga, lo que quede del lado derecho (la extensi&oacute;n) ser&aacute; la matriz inversa buscada.</p>
            <br>
            <p><b>Ejemplo:</b> Hallar la inversa de la matriz <code>2x2</code> de la <b>Fig. 34</b>:</p>
            <img src="../../images/model1/inv1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 43: Obtenci&oacute;n de la matriz inversa de la matriz de la Fig. 34.</p>          
          </li>
          <li>
            <p><b>A trav&eacute;s del determinante y la matriz adjunta</b></p>
            <p>La matriz adjunta de una matriz cuadrada <code>A</code> es una matriz en la que sus elementos <code>ij</code> son los <a href="#cofac">cofactores <code>ji</code></a> de la matriz <code>A</code>.</p>
            <img src="../../images/model1/inv2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 44: Matriz adjunta de una matriz de <code>3x3</code>.</p>
            <p>Con la matriz adjunta, la inversa de una matriz viene dada por:</p>
            <img src="../../images/model1/inv3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 45: Inversa de una matriz a trav&eacute;s del determinante y la matriz adjunta.</p>
          </li>
        </ul>
        <br>
        <p><b>Propiedades:</b></p>
        <ul>
          <li>Una matriz multiplicada por su inversa resulta en la matriz identidad sin importar el orden de la multiplicaci&oacute;n.</li>
          <li>La inversa de una matriz es &uacute;nica, no hay 2 matrices inversas diferentes para una sola matriz.</li>
          <li>Una matriz cuadrada que no tenga inversa se le denomina <i>matriz singular</i>, es decir, est&aacute; sola <b>:,(</b></li>
          <li>
            <p>Si <code>C</code> es el producto de dos matrices invertibles <code>A</code> y <code>B</code> como sigue</p>
            <img src="../../images/model1/inv4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 46: Matriz <code>C</code> producto de <code>A</code> y <code>B</code>.</p>
            <p>entonces la inversa de <code>C</code> existe y viene dada por</p>
            <img src="../../images/model1/inv5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 47: Inversa de la matriz <code>C</code> de la Fig. 46.</p>
          </li>
        </ul>
        <p>M&aacute;s teor&iacute;a acerca de las matrices inversas puede conseguirse en las referencias.</p>
      </div>
      <h2 id="orto">Matrices ortogonales</h2>
      <div class="contents">
        <p>Una matriz ortogonal es la matriz en la que su traspuesta es igual a su inversa.</p>
        <img src="../../images/model1/orto1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 48: Definici&oacute;n de matriz ortogonal.</p>
        <p><b>Propiedades</b></p>
        <ul>
          <li>El determinante de una matriz ortogonal es <code>+1</code> o <code>-1</code>.</li>
          <li>El producto de matrices ortogonales es una matriz ortogonal.</li>
          <li>La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.</li>
        </ul>
      </div>    
      <h2 id="refs">Referencias</h2>
      <div class="contents">
        <ul>
          <li><a href="https://archive.org/details/AlgebraLineal_456">&Aacute;lgebra Lineal, Stanley Grossman, 6ta edici&oacute;n</a></li>
          <li>Classical Mechanics, Volume 1, Edward A. Desloge</li>
          <li><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)">https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)</a></li>
        </ul>
      </div>
    </div>
	</body>
</html>
